Question

【題目】已知直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經過、兩點，與軸的另一個交點為，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點在上，點在的延長線上，且，連接交于點，點為第一象限內的一點，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，連接，設的長度為，的面積為，請用含的式子表示，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，連接、，將沿翻折到的位置（與對應），若，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0＜t＜4）；（3）K(1,-1)

【解析】

（1）利用求出點C、A的坐標及點B的坐標，即可代入求出解析式；

（2）過點D作DE⊥x軸于E，作QF⊥DE于F，設QF=m，根據△QDF≌△DPE 求出FD=4+t-m，EP=4-t+m，解出m=t ，即可根據三角形的面積公式計算得到函數解析式及t的取值范圍；

（3）作PL∥OQ ，GM⊥AB于M ，KN⊥AB于N，證得 △PGL≌△QGC，得到GP=GQ，根據勾股定理求出t，再證明四邊形PGDK為正方形，根據正方形的性質及△GMP≌△PNK求出AN及ON即可.

（1）解：當x=0時，y=4，∴C（0,4）

當y=0時，x=-4，∴A（-4，0）

∵OC=2OB，

∴OB=2 ，

∴B（2,0）

代入拋物線解析式得，

解得 ，

∴拋物線的解析式為；

（2）過點D作DE⊥x軸于E，作QF⊥DE于F，

∴四邊形QOEF為矩形

∴QF=OE，QO=FE,

設QF=m，

∵△QDF≌△DPE ，

∴QF=DE=m ,FD=EP，

∵FD=4+t-m，EP=4-t+m，

∴4-t+m=4+t-m，

∴m=t ，

∵OP=4-t，

∴ (0＜t＜4），

（3）作PL∥OQ ，GM⊥AB于M ，KN⊥AB于N，

∵OC=OA，

∴PL=PA ，

∵PA=CQ，

∴PL=CQ，

∴△PGL≌△QGC，

∴GP=GQ，

∵OG=，

∴PQ=，

在Rt△OPQ中，得（4-t）2+(4+t)2=，

∴t=2 ，

∵△PDG為等腰直角三角形，

∴四邊形PGDK為正方形，

∵OQ=6，

∴GM=3，

∵GP=GO，

∴PM=MO=1，

∵△GMP≌△PNK，

∴GM=PN=3，PM=KN=1，

∴AN=5，ON=1,

∴K(1,-1)