Question

（2013•莆田質檢）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在AE邊上的點F處．
（1）求證：AE=BC﹔
（2）若AD=5，AB=3，求sin∠EDF．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質可得AD=BC，∠C=∠ADC=90°，再根據翻折變換的性質可得∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C，然后根據等角的余角相等求出∠ADE=∠AED，根據等角對等邊的性質可得AD=AE，從而得證；
（2）在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出BE，再求出CE，然后根據勾股定理列式求出DE，再根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠C=∠ADC=90°，
∵將△DCE沿DE折疊，點C落在AE邊上的點F處，
∴∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C=90°，
∵∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∠EDF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴AE=BC；

（2）解：在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=

52-32

=4，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CDE中，DE=

CD2+CE2

=

32+12

=

10

，
∴sin∠EDF=sin∠CDE=

CE

DE

=

1

10

=

10

10

．

點評：本題考查了矩形的對邊相等，四個角都是直角的性質，翻折變換的性質，等角的余角相等的性質，等角對等邊的性質，勾股定理以及銳角三角函數，綜合題但難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．