Question

【題目】已知，如圖，拋物線的頂點為，經過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．

（2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）存在，理由見解析；點或或或．

【解析】

（1）二次函數表達式為：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，則，，即可求解；
（3）分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）二次函數表達式為：，

將點的坐標代入上式并解得：，

故拋物線的表達式為：…①，

則點，

將點的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線的表達式為：；

（2）存在，理由：

二次函數對稱軸為：，則點，

過點作軸的平行線交于點，

設點，點，

∵，

則，

解得：或5（舍去5），

故點；

（3）設點、點，，

①當是平行四邊形的一條邊時，

點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，

同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點，

即：，，而，

解得：或﹣4，

故點或；

②當是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：，，而，

解得：，

故點或；

綜上，點或或或．