Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若AB＝2，BC＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑是

【解析】

（1）首先連接OE，由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可證得直線CE與⊙O的位置關系是相切；
（2）首先易證得△CDE∽△CBA，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得DE的長，又由勾股定理即可求得AC的長，設⊙O的半徑為R，在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，即可得方程（2－R）2＝R2+（）2，解此方程即可求得⊙O的半徑．

（1）直線CE與⊙O相切.

證明：連接OE，

∵OA＝OE，

∴∠DAC＝∠AEO，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，

∴∠DCE+∠DEC＝90°，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝180°－90°＝90°，

即OE⊥EC，

∵OE為半徑，

∴直線CE與⊙O相切；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝BC×tan∠ACB＝4×＝2，

由勾股定理得：AC＝＝2，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，

在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，

DE＝DC×tan∠DCE＝2×＝1，

由勾股定理得：CE＝＝，

設⊙O的半徑為R，

在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，

（2－R）2＝（）2+ R2，

解得：R＝，

即⊙O的半徑是．