Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=－x2＋bx＋c經過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側），點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）若點P在第二象限內，過點P作PD⊥軸于D，交AB于點E．當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？

（3）如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q，與直線AB交于點N，點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2－3x＋4，C（1，0）（2）當t=-2時，線段PE的長度有最大值4，此時P（－2，6）（3）存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．所求Q點的坐標為

（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

【解析】

解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴A（－4，0），B（0，4）．

∵拋物線y=－x2＋bx＋c經過A、B兩點，

∴，解得．

∴拋物線解析式為y=－x2－3x＋4．

令y=0，得－x2－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1，

∴C（1，0）．

（2）如圖1，

設D（t，0）．

∵OA=OB，∴∠BAO=45°．

∴E（t，t＋4），P（t，－t2－3t＋4）．

PE=yP－yE=－t2－3t＋4－t－4=－t2－4t=－（t+2）2+4．

∴當t=-2時，線段PE的長度有最大值4，此時P（－2，6）．

（3）存在．如圖2，過N點作NH⊥x軸于點H．

設OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°．

∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m．

又M為OA中點，∴MH=2－m．

當△MON為等腰三角形時：

①若MN=ON，則H為底邊OM的中點，

∴m=1，∴yQ=4－m=3．

由－xQ2－3xQ＋4=3，解得．

∴點Q坐標為（，3）或（，3）．

②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中，

根據勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（4－m）2＋（2－m）2，

化簡得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=4（不合題意，舍去）．

∴yQ=2，由－xQ2－3xQ＋4=2，解得．

∴點Q坐標為（，2）或（，2）．

③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中，

根據勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（4－m）2＋m2，

化簡得m2－4m＋6=0，∵△=－8＜0，

∴此時不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形．所求Q點的坐標為

（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．

（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式，并求出拋物線與x軸另一交點C的坐標．

（2）求出線段PE長度的表達式，設D點橫坐標為t，則可以將PE表示為關于t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出PE長度的最大值．

（3）根據等腰三角形的性質和勾股定理，將直線l的存在性問題轉化為一元二次方程問題，通過一元二次方程的判別式可知直線l是否存在，并求出相應Q點的坐標． “△MON是等腰三角形”，其中包含三種情況：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一討論求解．