Question

【題目】如圖1，經過點B(1，0)的拋物線與y軸交于點C，其頂點為點G，過點C作y軸的垂線交拋物線對稱軸于點D，線段CO上有一動點M，連接DM、DG．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求的最小值以及相應的點M的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，以點A(﹣2，0)為圓心，以AM長為半徑作圓交x軸正半軸于點E．在y軸正半軸上有一動點P，直線PF與⊙A相切于點F，連接EF交y軸于點N，當PF∥BM時，求PN的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，M(0，)；（3） ．

【解析】

（1）將點B的坐標代入解析式即可求出a的值，即可確定函數解析式；

（2）過點O作直線l與x軸夾角為α，且，α＝45°，過點M作MH⊥直線l于H，推出，則當D、M、H共線時，的值最小，最后求出DH的長即可解答；

（3）連接BM，延長FA交y軸于J．想辦法求出FJ，根據tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此構建方程求出PF，再證明PN＝PF即可解決問題．

解：（1）∵拋物線，經過點B(1，0)，

∴0＝4a﹣，

∴a＝

∴．

（2）如圖1：過點O作直線l與x軸夾角為α，且，α＝45°，過點M作MH⊥直線l于H，

則有，

∴，

∴，

∴，

∴當D，M，H共線時，的值最小，

∵D(﹣1，﹣)，直線l的解析式為y＝﹣x，

∴直線DH的解析式為y＝x﹣，

由，解得，

∴H(，﹣)，M(0，)，

∴DH＝＝，

∵DG＝﹣+＝，

∴的最小值==．

（3）如圖2中，連接BM，延長FA交y軸于J．

∵A(﹣2，0)，M(0，﹣)，

∴AM＝AF＝＝，

∵B(1，0)，

∴直線BM的解析式為y＝x﹣，

∵PF是⊙A的切線，

∴PF⊥AF，

∵PF∥BM，

∴AF⊥BM，

∴直線AF的解析式為y＝﹣x﹣，

∴J(0，﹣)，

∴AJ＝＝，

∴FJ＝AF+AJ＝，

∵PF∥BM，

∴∠FPJ＝∠OMB，

∴tan∠FPJ＝tan∠OMB，

∴＝，

∴＝，

∴PF＝，

∵AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF，

∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO，

∴∠PFN＝∠PNF，

∴PN＝PF＝ ．