Question

【題目】如圖，∠ACB＝120°，以AC、BC為邊向外作等邊△ACF和等邊△BCF，點P、M、N分別為AB、CF、CE的中點

(1) 求證：PM＝PN

(2) 求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）取AC中點G，BC中點H，連接MG、PG、PH、HN，根據三角形中位線定理找到條件，證明△MGP≌△PHN即可；

（2）由（1）可知CM=CG=AG，PG=CH=CN，然后求出∠MCN=∠AGP =120°，證明△AGP≌△MCN即可．

證明：（1）取AC中點G，BC中點H，連接MG、PG、PH、HN．

∵△ACF、△BCE都是等邊三角形，

∴AC＝AF＝CF，∠CAF＝∠ACF＝60°，BC＝CE＝BE，∠CBE＝∠BCE＝60°，

∵CM＝MF，CG＝AG，

∴GM∥AF，GM＝AF，同理PH＝AC，PH∥AC，PG＝BC，PG∥BC，HN＝BE，HN∥BE，

∴GM＝PH，PG＝HN，

∴∠CGM＝∠CAF＝60°，∠CHN＝∠CBE＝60°，四邊形CHPG是平行四邊形，

∴∠CGP＝∠CHP，∠CGM＝∠CHN，

∴∠MGP＝∠PHN，

在△MGP和△PHN中， ，

∴△MGP≌△PHN，

∴PM＝PN．

（2）由（1）可知CM=CG=AG，PG=CH=CN，

∠MCN=360°-∠FCA-∠ACB-∠BCE=360°-60°-120°-60°=120°，∠AGP=∠ACB=120°，

在△AGP和△MCN中，，

∴△AGP≌△MCN，

∴AP=MN，

∵，

∴.