Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣1，0）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在二次函數圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）將拋物線的解析式設為頂點式，然后將點B代入即可求出拋物線的解析式；

（2）由四邊形MNHG為矩形知MN∥x軸，MG∥y軸，故可設出點M坐標，則矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函數性質即可求解；

（3）由（2）中知，D與N重合，由已知先求出S△PNC值，連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即PH＝GH，過點P作PK⊥CD于點K，設出點P坐標，通過推導計算，即可求解出點P的坐標.

（1）二次函數表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，

將點B的坐標代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，

故函數表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）設點M的坐標為（x，﹣x2+2x+3），則點N（2﹣x，﹣x2+2x+3），

則MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，

矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，

∵﹣2＜0，故當x＝＝2，C有最大值，最大值為10，

此時x＝2，點N（0，3）與點D重合；

（3）△PNC的面積是矩形MNHG面積的，

則S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，

連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即PH＝GH，過點P作PK⊥CD于點K，

將C（3，0）、D（0，3）坐標代入一次函數表達式并解得：

直線CD的表達式為：y＝﹣x+3，

OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，

設點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），

S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，

解得：PH＝＝HG，

則PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，

解得：x＝，

故點P（，），

直線n的表達式為：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝，

即點P′、P″的坐標分別為(，）、（，）；

故點P坐標為：（，）或（，）或（，）.