Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C(0，﹣3)，對稱軸為x＝1，點D與C關于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點P是拋物線上的一點，當△ABP的面積是8時，求出點P的坐標；

（3）點M為直線AD下方拋物線上一動點，設點M的橫坐標為m，當m為何值時，△ADM的面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，D(2，﹣3)；（2）P(1﹣2，4)或(1+2，4)或(1，﹣4)；（3）m＝時，△AMD的最大值為

【解析】

（1）由拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，求出b的值，再由點C的坐標求出c的值即可；

（2）先求出點A，點B的坐標，設點P的坐標為(s，t)，因為△ABP的面積是8，根據三角形的面積公式可求出t的值，再將t的值代入拋物線解析式即可；

（3）求出直線AD的解析式，過點M作MN∥y軸，交AD于點N，則點M的坐標為(m，m2﹣2m﹣3)，點N的坐標為(m，﹣m﹣1)，用含m的代數式表示出△AMN的面積，配方后由二次函數的性質即可得出結論．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，

∴1，

∴b﹣=2．

∵拋物線與y軸交于點C(0，﹣3)，

∴c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

∵點D與C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點D的坐標為(2，﹣3)；

（2）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴點A的坐標為(﹣1，0)，點B的坐標為(3，0)，

∴AB=3﹣(﹣1)=4，

設點P的坐標為(s，t)．

∵△ABP的面積是8，

∴AB|yP|=8，

即4|t|=8，

∴t=±4，

①當t=4時，s2﹣2s﹣3=4，

解得：，s1=，s2=，

∴點P的坐標為(，4)或(，4)；

②當t=﹣4時，s2﹣2s﹣3=﹣4，

解得：，s1=s2=1，

∴點P的坐標為(1，﹣4)；

綜上所述：當△ABP的面積是8時，點P的坐標為(，4)或(，4)或(1，﹣4)；

（3）設直線AD的解析式為y=kx+b1，

將A(﹣1，0)，D(2，﹣3)代入y=kx+b1，

得：，

解得：，

∴直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

過點M作MN∥y軸，交AD于點N．

∵點M的橫坐標是m(﹣1＜m＜2)，

∴點M的坐標為(m，m2﹣2m﹣3)，點N的坐標為(m，﹣m﹣1)，

∴MN=﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2，

∴S△AMD=S△AMN+S△DMN

MN(m+1)MN(2﹣m)

MN

(﹣m2+m+2)

(m)2，

∵0，﹣12，

∴當m時，S△AMD，

∴當m時，△AMD的最大值為．