Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx與x軸交于O，A（4，0）兩點，點B的坐標為（0，-3）.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）已知點P在拋物線的對稱軸上，連接OP，BP. 若要使OP+BP的值最小，求出點P的坐標；

（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象. 當直線y=x+m（m≠0）與這個新圖象有兩個公共點時，在反比例函數y=的圖象中，y的值隨x怎樣變化？判斷并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線x=2；（2）點P的坐標為（2，-）；

（3）y的值隨x的增大而增大.

【解析】分析：（1）把點A（4，0）代入y=x2+bx，求出b,在利用，即可求解.(2) 作O點關于直線x=2對稱的點，而P在直線x=2上，則利用軸對稱最短路徑即可求解；（3）由翻轉的性質，再利用根的判別式和反比例函數的性質可判斷出y隨x的增大而減小。

本題解析：

（1）由題意得： ∴b=-4, ∴函數關系式為;y=x-4x, ∴對稱軸為： ；

（2）由題意得：OP+PB的值最小，實際就是在同一直線一旁有兩點，在直線上求點只要取O點關于直線x=2對稱的點A(4,0),過AB的直線與直線x=2的交點就是點p,

設過AB的直線為y=kx-3，由B(4,0)在y=kx-3上，∴0=4k-3,得k=,，

∵P在直線x=2上，∴y=,∴P(2,- ),

（3）∵y=x-4x在x軸下方的部分沿x軸翻轉，

當直線y=x+m(m≠0)有兩個不相同的解，∴△>0,3-4×m>0,得m<,又m>0, ∴0<m<,在反比例函數y=中，∵0<m=k<,y隨x的增大而減小.