Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點K在AD上，連接BK，過點A，C作BK的垂線，垂足分別為M，N，點O是正方形ABCD的中心，連接OM，ON．

（1）求證：AM=BN；

（2）請判斷△OMN的形狀，并說明理由；

（3）若點K在線段AD上運動（不包括端點），設AK=x，△OMN的面積為y，求y關于x的函數關系式（寫出x的范圍）；若點K在射線AD上運動，且△OMN的面積為，請直接寫出AK長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）是等腰直角三角形，理由詳見解析；（3），長為或3．

【解析】

（1）由“AAS”可證△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；

（2）連接OB，由“SAS”可證△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性質可得∠MON＝90°，可得結論；

（3）由勾股定理可求BK的值，由，四邊形ABCD是正方形，可得：，，則可求得，由三角形面積公式可求得；點K在射線AD上運動，分兩種情況：當點K在線段AD上時和當點K在線段AD的延長線時分別求解即可得到結果．

解：（1）證明：

∵

∴

又∵

∴

∴

又

∴≌（AAS）

∴

（2）是等腰直角三角形

理由如下：連接，

∵為正方形的中心

∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，

∵∠MAB＝∠CBM，

∴，即

∵

∴≌（SAS）

∴，

∵

∵∠AON+∠BON＝90°，

∴∠AON+∠AOM＝90°，

∴

∴是等腰直角三角形．

（3）在中，

由，四邊形ABCD是正方形，

可得：，

∴，

∴，得：

∴，得：

∴

∴

即：

當點K在線段AD上時，則，

解得：x1＝3（不合題意舍去），，

當點K在線段AD的延長線時，同理可求得

∴，

解得：x1＝3，（不合題意舍去），

綜上所述：長為或3時，△OMN的面積為．