Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動，設它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S．
（1）分析與計算：求正方形ODEF的邊長；
（2）操作與求解：
①正方形ODEF平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是

 

；
A、逐漸增大  B、逐漸減少  C、先增大后減少  D、先減少后增大
②當正方形ODEF頂點O移動到點C時，求S的值；
（3）探究與歸納：
設正方形ODEF的頂點O向右移動的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據梯形及正方形的面積公式和它們的面積相等，可求出正方形的邊長；
（2）由圖形的移動可知，從OF出發，重疊部分面積逐漸增大，當OF和BC重合時面積最大，繼續移動時，面積將減小；求重疊部分面積時，可將其轉化為S_梯形AMDG+S_矩形AGCB．
（3）依據題意將圖形平移，由于移動的距離不同，重疊部分為三角形、五邊形和矩形，①利用三角形的面積公式列等式；②根據梯形面積公式列等式；③④利用分割法將五邊形化為三角形和梯形解答；⑤根據矩形面積公式解答．

解答：解：（1）∵S_ODEF=S_ABCO=

1

2

（4+8）×6=36，（2分）
設正方形的邊長為x，
∴x²=36，x=6或x=-6（舍去）．（2分）

（2）由圖形的移動可知，從OF出發，重疊部分面積逐漸增大，
當OF和BC重合時面積最大，繼續移動時，面積將減小．
故選C．（2分）
過點A作AG∥BC交x軸于G，所以AE=DG=EB-AB=6-4=2．當正方形ODEF頂點O移動到點C時，OD=OC-CD=8-6=2；
于是重疊部分的面積是S=S_梯形AMDG+S_矩形AGCB=

1

2

（3+6）×2+6×4=33．（3分）

（3）①當0≤x＜4時，重疊部分為三角形，如圖①．
可得△OMO′∽△OAN，
∴

MO′

6

=

x

4

，MO′=

3

2

x．
∴S=

1

2

×

3

2

x•x=

3

4

x²．（1分）

②當4≤x＜6時，重疊部分為直角梯形，如圖②．
S=（x-4+x）×6×

1

2

=6x-12．（1分）

③當6≤x＜8時，重疊部分為五邊形，如圖③．
可得，點A坐標為（4，6），故OA的解析式為：y=

3

2

x，
∴MD=

3

2

（x-6），AF=x-4．
S=

1

2

×（x-4+x）×6-

1

2

×

3

2

（x-6）（x-6）
=-

3

4

x²+15x-39．（1分）

④當8≤x＜10時，重疊部分為五邊形，如圖④．
S=SAFO'DM-SBFO′C=-

3

4

x²+15x-39-（x-8）×6
=-

3

4

x²+9x+9．（1分）

⑤當10≤x≤14時，重疊部分為矩形，如圖⑤．S=[6-（x-8）]×6=-6x+84．（1分）

（用其它方法求解正確，相應給分）．

點評：在新課程理念指導下，通過建立平面直角坐標系，利用正方形與梯形，圍繞圖形的平移，把方程、特殊四邊形、相似三角形、一次函數、二次函數、圖形的面積等知識與操作探究融合為一體，既考查了學生綜合運用知識解決問題的能力，又突出了學習數學活動的過程性，體現了一定的區分度．在操作探索過程中融入動與靜、變與不變，分類討論，數形結合等思想，解題時要學生切實把握幾何圖形的運動過程，并注重運動過程中的特殊過程，掌握在“動”中求“靜”，在“靜”中求“動”的一般規律，有效地考查了學生的數學素養和思維品質．同時，題中第（3）小題的思維迥異，解題方法多樣，特別是重疊部分為五邊形時，至少有四種解法，使不同層次的學生都有不同的發揮空間，不同的人獲得不同的數學發展．本題將操作探究與綜合知識點結合在一起，作為壓軸題，較好地體現了接受與創新同途的新課程理念，突出了課改的導向．
[常見錯誤]
（1）題求邊長用直觀方法去判斷，沒有求解過程；
（2）對不規則圖形的面積求法，不能用分割或補差法求解；
（3）對數學思想方法（運動思想、分類思想）缺乏，“動”中求“靜”的思維方法不能掌握．在求解時不能很好地利用操作的過程去完成解答．