Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，，是邊上一點，過、分別作、的平行線交于點，聯結并延長，與射線交于點．

（1）當點與點重合時，求的值；

（2）當點在邊．上時，設，求的面積；(用含的代數式表示)

（3）當時，求的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）．

【解析】

（1）由題意可得四邊形DCEF是平行四邊形，可得CD=EF，通過證明△CFE∽△CAB進行分析求值即可；

（2）根據題意延長AG，BC交為于點M，過點C作CN⊥AB于點N，交EF于點H，由題意可得四邊形ADCN是矩形，可得AD=CN=4，CD=AN=3，BN=3，由平行線分線段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的長，即可求GD的長，由三角求形面積公式可△DFG的面積；

（3）根據題意由△AFD∽△ADG，可得∠AFD=∠ADG=90°，由余角的性質可得∠DAG=∠B，即可求∠DAG的余弦值．

解：（1）如圖，

∵DC∥EF，DF∥CE，

∴四邊形DCEF是平行四邊形，

∴CD=EF，

∵AB=2CD=6，

∴AB=2EF，

∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AB，

∴△CFE∽△CAB，

∴,

∴BC=2CE，

∴BE=CE,

∴EC：BE=1：1=1.

（2）如圖，延長AG，BC交為于點M，過點C作CN⊥AB于點N，交EF于點H,

∵AD⊥CD，CN⊥CD,

∴AD∥CN，且CD∥AB,

∴四邊形ADCN是平行四邊形，

又∵∠DAB=90°,

∴四邊形ADCN是矩形，

∴AD=CN=4，CD=AN=3，

∴BN=AB-AN=3，

在Rt△BCN中，BC=,

∴BE=BC-CE=5-m，

∵EF∥AB,

∴即，

∴ME=BE=5-m，

∴MC=ME-CE=5-2m，

∵EF∥AB，

∴，

∴HC=，

∵CG∥EF，

∴，即，

∴，

∴，

∴.

（3）過點C作CN⊥AB于點N，

∵AB∥CD，∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠ADG=90°，

若△AFD∽△ADG，

∴∠AFD=∠ADG=90°，

∴DF⊥AG，

又∵DF∥BC，

∴AG⊥BC，

∴∠B+∠GAB=90°，且∠DAG+∠GAB=90°，

∴∠B=∠DAG，

∴.