Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，且，點是第三象限內拋物線上的一動點．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）若，求點的坐標；

（3）連接，求面積的最大值及此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面積的最大值是8；點的坐標為（，）．

【解析】

（1）由二次函數的性質，求出點C的坐標，然后得到點A、點B的坐標，再求出解析式即可；

（2）由，則點P的縱坐標為，代入解析式，即可求出點P的坐標；

（3）先求出直線AC的解析式，過點P作PD∥y軸，交AC于點D，則，設點P為（，），則點D為（，），求出PD的長度，利用二次函數的性質，即可得到面積的最大值，再求出點P的坐標即可．

解：（1）在拋物線中，

令，則，

∴點C的坐標為（0，），

∴OC=2，

∵，

∴，，

∴點A為（，0），點B為（，0），

則把點A、B代入解析式，得

，解得：，

∴；

（2）由題意，∵，點C為（0，），

∴點P的縱坐標為，

令，則，

解得：，，

∴點P的坐標為（，）；

（3）設直線AC的解析式為，則

把點A、C代入，得

，解得：，

∴直線AC的解析式為；

過點P作PD∥y軸，交AC于點D，如圖：

設點P 為（，），則點D為（，），

∴，

∵OA=4，

∴，

∴，

∴當時，取最大值8；

∴，

∴點P的坐標為（，）．