Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖（1），連接AF、CE．

①四邊形AFCE是什么特殊四邊形？說明理由；

②求AF的長；

（2）如圖（2），動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） ①菱形，理由見解析；②AF＝5；（2） 秒．

【解析】

（1）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；

②根據勾股定理即可求AF的長；

（2）分情況討論可知，P點在BF上；Q點在ED上時；才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可．

（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE＝OF(AAS)．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．

②設菱形的邊長AF＝CF＝xcm，則BF＝(8﹣x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得

16+(8﹣x)2＝x2，

解得：x＝5，

∴AF＝5．

（2）由作圖可以知道，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．

∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

∴PC＝QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，

∴5t＝12﹣4t，

解得：t＝．

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝秒．