Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C。

　　(1)求點B的坐標（用含m的代數式表示）；

　　(2)D為BD中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為（0,2），求拋物線的解析式；

　　(3)在(2)的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】（1）（，- ）；（2）；（3）P1(1, )、P2(-7， )、P3(-5, )．

【解析】試題解析：（1）利用配方法或公式法都能求出點B的坐標．

（2）可過點D作DF⊥x軸于F，那么DF是△BOC的中位線，由此得出DF、OF、CF的長；再由△AFD∽△AOE得出的比例線段以及OE的長，即可求出m的值，由此確定函數的解析式．

（3）此題中，首先要確定點M的位置：已知“△AMC的周長最小”，那么可作點C關于直線BO的對稱點C′，連接AC′與直線BO的交點即為符合條件的點M；

確定點M后，由于所求平行四邊形的四頂點順序并不確定，所以分：AM為邊和AM為對角線兩種情況討論；在解答時，可根據平行四邊形的對邊平行且相等的特點，過P、Q作坐標軸的垂線，通過構建全等三角形來確定點P的坐標．

試題解析：（1）∵y＝x22x＝ (x2mx+ m2) m2＝ (xm)2m，

∴拋物線的頂點B的坐標為(m，m)．

（2）令x22x＝0，解得x1=0，x2=m．

∵拋物線y＝x22x與x軸負半軸交于點A，

∴A（m，0），且m＜0．

過點span>D作DF⊥x軸于F，如圖；

由D為BO中點，DF∥BC，可得CF=FO=CO．

∴DF=BC．

由拋物線的對稱性得AC=OC．

∴AF：AO=3：4．

∵DF∥EO，

∴△AFD∽△AOE．

∴．

由E（0，2），B(m，m)，得OE=2，DF=m．

∴．

∴m=-6．

∴拋物線的解析式為y＝x22x．

（3）依題意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直線OB的解析式為y=-x，直線BC為x=-3．

作點C關于直線BO的對稱點C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．

由A（-6，0），C′（0，3），可得直線AC′的解析式為y＝x+3．

由

解得

∴點M的坐標為（-2，2）．

由點P在拋物線y＝x22x上，設P（t，t22t）．

（ⅰ）當AM為所求平行四邊形的一邊時．

①如圖，過M作MG⊥x軸于G，過P1作P1H⊥BC于H，

則xG=xM=-2，xH=xB=-3．

∵四邊形AMP1Q1為平行四邊形，

∴AM=Pspan>1Q1，∠P1Q1H=∠AKC，

∵BK∥MG，

∴∠AMG=∠AKC，

∴∠P1Q1H=∠AMG，

∵，

∴△AMG≌△P1Q1H．

∴P1H=AG=4．

∴t-（-3）=4．

∴t=1．

∴P1(1，)．

②如圖，

同①方法可得P2H=AG=4．

∴-3-t=4．

∴t=-7．

∴P2(7，)．

（ⅱ）當AM為所求平行四邊形的對角線時，如圖；

過M作MH⊥BC于H，過P3作P3G⊥x軸于G，則xH=xB=-3，xG=xP3=t．

由四邊形AP3MQ3為平行四邊形，可證△AP3G≌△MQ3H．

可得AG=MH=1．

∴t-（-6）=1．

∴t=-5．

∴P3(5， )．

綜上，點P的坐標為P1(1， )、P2(7， )、P3(5， )．