Question

【題目】閱讀下列材料，然后解答后面的問題．

我們知道方程2x+3y=12有無數組解，但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數解．例：由2x+3y=12，得，（x、y為正整數）∴則有0＜x＜6．又為正整數，則為正整數．

由2與3互質，可知：x為3的倍數，從而x=3，代入．

∴2x+3y=12的正整數解為

問題：

（1）請你寫出方程2x+y=5的一組正整數解：______；

（2）若為自然數，則滿足條件的x值有______個；

A、2B、3C、4D、5

（3）七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品，共花費35元，問有幾種購買方案？

Answer 1

【答案】（1）當x=1時，y=3；當x=2時，y=1（2）C（3）有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支.

【解析】

根據題意可知，求方程的正整數解，先把方程做適當的變形，再列舉正整數代入求解．（1）（2）參照例題的解題思路進行解答；
（3）設購買單價為3元的筆記本m本，單價為5元的鋼筆n支．則根據題意得：3m+5n=35，其中m、n均為自然數．參照例題的解題思路解該二元一次方程即可．

解：（1）由2x+y=5，得y=5-2x（x、y為正整數）．

所以 ，即0＜x＜

∴當x=1時，y=3；

當x=2時，y=1．

即方程的正整數解是 或 ；

（2）同樣，若 為自然數，

則有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8．

當x=3時， ；

當x=4時， ；

當x=5時， ；

當x=8時， ．

即滿足條件x的值有4個，

故選C；

（3）設購買單價為3元的筆記本m本，單價為5元的鋼筆n支．

則根據題意得：3m+5n=35，其中m、n均為自然數．

于是有： ，

解得： ，

所以0＜m＜ ．

由于n=7-m為正整數，則m為正整數，可知m為5的倍數．

∴當m=5時，n=4；

當m=10時，n=1．

答：有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；

或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支．

故答案為：（1）當x=1時，y=3；當x=2時，y=1；（2）C；（3）有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支.