Question

（2012•北辰區一模）已知二次函數y=2x²+2mx+m-1．
（1）①若函數圖象的對稱軸為直線x=-1，求m的值；②若x≥-1時，函數值y隨x的增大而增大，求m的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸的一個交點為（x₁，0），①當x₁=-2時，求m的值；②當-3＜x₁＜-2時，求m的取值范圍；
（3）①若函數的最小值為-1，求m的值；②當2≤x≤4時，函數的最小值為-1，求m的值．

Answer 1

分析：（1）①根據對稱軸的公式x=-

b

2a

，即可得到一個關于m的方程，求得m的值；
②x≥-1時，函數值y隨x的增大而增大，即-1在對稱軸上，或對稱軸的右側，即-

b

2a

≤-1，即可得到關于m的不等式，從而求得m的范圍；
（2）①（-2，0）是拋物線上的一點，代入函數的解析式，即可求得m的值；
②根據根的判別式可以得到拋物線與x軸一定有兩個不同的交點，另一個交點不在-3＜x₁＜-2的范圍內，因而在拋物線的解析式中，當x=-3和-2時，兩個函數值一定異號，據此即可求得m的范圍；
（3）①函數的最小值為-1，即函數的頂點的縱坐標是-1，即可列方程求得m的值；
②分最小值是函數的頂點的縱坐標，和不是縱坐標兩種情況進行討論，當不是頂點的縱坐標時，2≤x≤4則一定在對稱軸的同一側，則函數一定經過（2，-1）或（4，-1），代入函數解析式即可求解．

解答：解：（1）①由-

2m

2×2

=-1，得m=2；
②由題意，得-

2m

2×2

≤-1，得m≥2．

（2）①把x₁=-2代入，得0=2（-2）²+2m（-2）+m-1，
解得m=

7

3

；                                       
②△=（2m）²-8（m-1）=4（m-1）²+4＞0．
所以對任意的m值，拋物線與x軸都有兩個交點．
設與x軸的另一個交點的橫坐標為x₂，則|x1-x2|=

4(m-1)+4

2

≥

2

2

=1，
∴當由-3＜x₁＜-2時，x₂不在這個范圍內．
由-3＜x₁＜-2，得

2(-2)2+2m(-2)+m-1＜0 2(-3)2+2m(-3)+m-1＞0.

或

2(-2)2+2m(-2)+m-1＞0 2(-3)2+2m(-3)+m-1＜0.

，解得

m＞ 7 3 m＜ 17 5

或

m＜ 7 3 m＞ 17 5

（無解）．
∴

7

3

＜m＜

17

5

．

（3）①

4×2(m-1)-(2m)2

4×2

=-1，
解得：m=0，m=2；
②但最小值為-1，是整個函數的最小值時，即①的情況，求得m=0或2，當m=0時，應該有當x=0時，又最小值是-1，故不合題意；
當m=2時，則拋物線的解析式是：y=2x²+4x+1，則當x=-1是，又最小值是-1；
因而2≤x≤4應該是對稱軸一側的點，
對稱軸是x=-

m

2

，當2≤x≤4都在對稱軸的右側，則一定過點（2，-1），代入函數的解析式得：m=-

8

5

；
當2≤x≤4都在對稱軸的左側，則一定過點（4，-1），代入函數的解析式得：32+8m+3=-1，解得：m=-

9

2

，（與當2≤x≤4都在對稱軸的右側相矛盾，故舍去）．
總之，m=-

8

5

．

點評：本題考查了二次函數的性質，以及頂點坐標，正確利用數形結合的思想是解題的關鍵．