Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，△APQ為直角三角形；

（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當t=1或t=時，△PQA是直角三角形；（3）點F的坐標為（2，3）．

【解析】試題分析：（1）先利用直線解析式確定A點和B點坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）OP=t，AQ=t，則PA=3-t，先判斷∠QAP=45°，討論：當∠PQA=90°時，如圖①，利用等腰直角三角形的性質得PA=AQ，即3-t=t；當∠APQ=90°時，如圖②，利用等腰直角三角形的性質得AQ=AP，即t=（3-t），然后分別解關于t的方程即可；

（3）如圖③，延長FQ交x軸于點H，設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，-t+3），易得△AQH為等腰直角三角形，則AH=HQ=AQ=t，則可表示出點Q的坐標為（3-t，t），點F的坐標為[3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3）]，所以FQ=-t2+3t，再證明四邊形PQFE為平行四邊形得到EP=FQ．即3-t=3t-t2，然后解方程求出t即可得到點F的坐標.

試題解析：（1）∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）．

∵將A（3，0），B（0，3）代入得： ，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即．

解得：t=1．

如圖②所示：∠QPA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即．

解得：t=．

綜上所述，當t=1或t=時，△PQA是直角三角形．

（3）如圖③所示：

設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t．點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四邊形EFQP為平行四邊形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入得點F的坐標為（2，3）．