Question

【題目】已知，關于x的二次函數y＝ax2﹣2ax（a＞0）的頂點為C，與x軸交于點O、A，關于x的一次函數y＝﹣ax（a＞0）．

（1）試說明點C在一次函數的圖象上；

（2）若兩個點（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函數的圖象上，是否存在整數k，滿足？如果存在，請求出k的值；如果不存在，請說明理由；

（3）若點E是二次函數圖象上一動點，E點的橫坐標是n，且﹣1≤n≤1，過點E作y軸的平行線，與一次函數圖象交于點F，當0＜a≤2時，求線段EF的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）存在．整數k的值為±4．（3）EF的最大值是4．

【解析】

（1）先求出二次函數y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a頂點C（1，﹣a），當x＝1時，一次函數值y＝﹣a所以點C在一次函數y＝﹣ax的圖象上；

（2）存在．將點（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函數解析式，用a、k表示出y1、y2，因為滿足,把y1、y2代入整理可得關于k的方程，解方程檢驗即可求得k的值.

（3）分兩種情況討論：①當﹣1≤n≤0時，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝②當0＜n≤1時，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝

（1）∵二次函數y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，

∴頂點C（1，﹣a），

∵當x＝1時，一次函數值y＝﹣a

∴點C在一次函數y＝﹣ax的圖象上；

（2）存在．

∵點（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函數的圖象上，

∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），

∵滿足

∴，

整理，得 ，

∴

∴，

解得k＝±4，

經檢驗：k＝±4是原方程的根，

∴整數k的值為±4．

（3）∵點E是二次函數圖象上一動點，

∴E（n，an2﹣2an），

∵EF∥y軸，F在一次函數圖象上，∴F（n，﹣an）．

①當﹣1≤n≤0時，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝

∵a＞0，

∴當n＝﹣1時，EF有最大值，且最大值是2a，

又∵0＜a≤2，

∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4；

②當0＜n≤1時，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝此時EF的最大值是 ，

又∵0＜a≤2，

∴0＜ ≤ ，即EF的最大值是；

綜上所述，EF的最大值是4．