Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E．

（1）求證：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

∵AC為⊙O的切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAD+∠CAD=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠1=∠BDO，

∴∠1=∠CAD；

（2）

解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，

∴△CAD∽△CDE，

∴CD：CA=CE：CD，

∴CD2=CACE，

∵AE=EC=2，

∴AC=AE+EC=4，

∴CD=2 ，

設⊙O的半徑為x，則OA=OD=x，

則Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，

∴x2+42=（2 +x）2，

解得：x= ．

∴⊙O的半徑為

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，易證得∠CAD=∠BDO，繼而證得結論；（2）由（1）易證得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CD的長，再利用勾股定理，求得答案．此題考查了切線的性質、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質．注意證得△CAD∽△CDE是解此題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．