Question

【題目】如圖1，已知拋物線經過點（9，10），交軸于點，直線∥軸，點是直線下方拋物線上的動點．

（1）直接寫出拋物線的解析式為 ，點的坐標為 、的坐標為 _；

（2）過點且與軸平行的直線與直線、分別交于點、，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；

（3）如圖2，當點為拋物線的頂點時，在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（0,1），C（6,1）;（2）P（）；（3）Q（-3,1），或（4,1）.

【解析】分析：（1）由點A坐標可得拋物線解析式，求出x=0時y的值即可知點B坐標，再根據拋物線對稱性得出點C坐標；

（2）設點P（m， m-2m+1），表示出PD=m+3m,再用S四邊形PBDC=S△BDC+S△APC=BC×PD，建立函數關系式，求出極值即可；

（3）先判斷出PE=CE，再得到∠PCE=∠DBE，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

本題解析：

(1)將點A(9,10)代入得：81a18+1=10，

解得：a=，

∴拋物線解析式為y=x2x+1，

當x=0時,y=1,即點B(0,1)，

∵拋物線對稱軸為x=3，

∴點B關于對稱軸的對稱點C坐標為(6,1)，

故答案為：y=x2x+1,(0,1),(6,1)；

(2)如圖2，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

將A(9,10)、B(0,1)代入得： ，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+1，

設點P(m, m2m+1)

∴D(m,m+1)

∴PD=m+1(m2m+1)= m+3m，

∵BC⊥PD，BC=6，

∴S四邊形PBDC=S△BDC+S△APC=BC×DE+12BC×PE=BC(DE+PE)= BC×PD=×6×(m+3m)=m+9m=(m)+，

∵0<m<6，

∴當m=時,四邊形PBDC的面積取得最大值，

此時點P的坐標為(,；

(3)如圖2，

∵y=x2x+1= (x3)2，

∴P(3,2)，

∴PE==3,CE==3，

∴PE=CE，

∴∠PCE=45°

同理可得：∠DBE=45°，

∴∠PCE=∠DBE，

∴在直線AC上存在滿足條件的Q，

設Q(t,1)且AB=9,BC=6,CP=3,

∵以C. P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當△CPQ∽△BAC時，

∴，

∴，

∴t=4，

∴Q(4,1)

②當△CPQ∽△BCA時，

∴，

∴，

∴t=3，

∴Q(3,1)，

綜上,點Q的坐標為(4,1)或(3,1).