Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥AE，垂足為E，交AB的延長(zhǎng)線于F．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）若AD＝4，AB＝6，求FD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求得∠1＝∠3，再由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得AE∥OD，然后再由垂線的定義和切線的判定即可證明；

（2）連接BD，由切線的性質(zhì)及勾股定理可求出BD的長(zhǎng)，然后再根據(jù)三角形相似的判定和性質(zhì)求得BF＝DF，然后再在Rt△ODF中，求DF即可.

（1）證明：連接OD，如圖，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠3，

∵AD平分∠EAB，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AE∥OD，

∵ED⊥CA，

∴OD⊥ED，

∵OD是⊙O的半徑，

∴ED是⊙O的切線；

（2）連接BD，如圖，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°．

∴BD＝＝2，

∵EF是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴∠4+∠5＝90°，

∵∠3+∠5＝90°，

∴∠4＝∠3＝∠2，

∵∠F＝∠F，

∴△FBD∽△FDA，

∴，

∴BF＝DF，

在Rt△ODF中，

∵（3+BF）2＝32+DF2，

∴（3+DF）2＝32+DF2，

∴DF＝．