Question

【題目】如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O的位置關系是相切．

理由：

連接OD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即：OD⊥CE，

∴直線CD 是⊙O的切線．

即：直線CD 與⊙O的位置關系是相切．

（2）解：∵AC=2，⊙O的半徑是3，

∴OC=2=3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

設DE=EB=x，

在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

則 （4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即 BE=6，

∴tan∠BEC= ，

即：tan∠BEC= ．

【解析】（1）連接OD，由直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，然后可得到∠CDA+∠ODA=90°，故此可得到直線和圓的位置關系；
（2）首先在Rt△CDO中依據勾股定理求得：CD的長，然后依據切線長定理得DE=EB，設DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，可得到關于x的方程，從而可求得x的值，最后由正切函數的定義解得∠BEC的正切值即可.
【考點精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關系和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．