Question

【題目】如圖，AB分別是⊙O的直徑，AC是弦，DC是⊙O的切線，C為切點，AD⊥DC于點D．

（1）已知∠ACD=a，求∠AOC的大小；

（2）求證：AC2=AB·AD．

Answer 1

【答案】（1）2α；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由CD是⊙O的切線得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的內角和即可證明題目的結論；

（2）如圖，連接BC．由AB是直徑得到∠ACB=90°，然后利用已知條件可以證明在Rt△ACD∽Rt△ABC，接著利用相似三角形的性質即可解決問題．

試題解析：（1）∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°，①

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，

兩邊除以2得：∠AOC+∠ACO=90°，②

由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，

即∠AOC=2∠ACD=2α；

（2）如圖，連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACD與Rt△ABC中，

∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，即AC2=AB·AD.