Question

【題目】如圖，直線y1=x+2與雙曲線y2=交于A（a，4），B（m，n）．

（1）求k值和點B的坐標；

（2）求△AOB的面積；

（3）當y1＞y2時請直接寫出x的取值范圍；

（4）P為x軸上任意一點，當△ABP為直角三角形時，直接寫出P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）8（2）點B（﹣4，﹣2）（3）﹣4＜x＜0或x＞2（4）當△ABP為直角三角形時，P點坐標為（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）、（﹣6，0）或（6，0）

【解析】試題分析：（1）由點A在直線上可求出a，從而得出點A的坐標，由點A在反比例函數圖象上即可求出k值；

（2）聯立直線與雙曲線的解析式成方程組，解方程組即可求出點B的坐標；

（3）根據函數圖象的上下位置關系結合交點坐標即可得出結論；

（4）設點P的坐標為（m，0），由兩點間的距離公式求出AP、AB、BP，分AP、AB、BP為斜邊來考慮，根據勾股定理得出關于m的方程，解方程即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵點A（a，4）在直線y1=x+2上，∴4=a+2，解得：a=2，∴點A（2，4）．∵點A（2，4）在雙曲線 上，∴k=2×4=8．

（2）聯立直線與雙曲線解析式成方程組得： ，解得： ， ，∴點B（﹣4，﹣2）．

（3）觀察函數圖象，發現：當﹣4＜x＜0或x＞2時，直線在雙曲線的上方，∴當y1＞y2時x的取值范圍為﹣4＜x＜0或x＞2．

（4）設點P的坐標為（m，0），則AB2= =72，AP2=，BP2= ，△ABP為直角三角形分三種情況：

①AB為斜邊時（圖1），有AB2=AP2+BP2，即72=（m﹣2）2+16+（m+4）2+4，解得：m1=﹣1﹣，m2=﹣1+，此時點P坐標為（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0）；

②AP為斜邊時（圖2），有AP2=AB2+BP2，即（m﹣2）2+16=72+（m+4）2+4，解得：m3=﹣6，此時點P坐標為（﹣6，0）；

③BP為斜邊時（圖3），有BP2=AB2+AP2，即（m+4）2+4=72+（m﹣2）2+16，解得：m4=6，此時點P坐標為（6，0）．

綜上可知：當△ABP為直角三角形時，P點坐標為（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）、（﹣6，0）或（6，0）．