Question

【題目】如圖，點A在數軸上對應的數為26，以原點O為圓心，OA為半徑作優弧，使點B在O右下方，且tan∠AOB=，在優弧上任取一點P，且能過P作直線l∥OB交數軸于點Q，設Q在數軸上對應的數為x，連接OP．

（1）若優弧上一段的長為13π，求∠AOP的度數及x的值；

（2）求x的最小值，并指出此時直線l與所在圓的位置關系；

（3）若線段PQ的長為12.5，直接寫出這時x的值．

Answer 1

【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）當直線PQ與⊙O相切時時，此時x的值為﹣32.5；（3）滿足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5．

【解析】（1）利用弧長公式求出圓心角即可解決問題；

（2）如圖當直線PQ與⊙O相切時時，x的值最小．

（3）由于P是優弧上的任意一點，所以P點的位置分三種情形，分別求解即可解決問題．

（1）如圖1中，

由=13π，

解得n=90°，

∴∠POQ=90°，

∵PQ∥OB，

∴∠PQO=∠BOQ，

∴tan∠PQO=tan∠QOB=，

∴OQ=，

∴x=；

（2）如圖當直線PQ與⊙O相切時時，x的值最小．

在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，

此時x的值為﹣32.5；

（3）分三種情況：

①如圖2中，作OH⊥PQ于H，設OH=4k，QH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍棄），

∴OQ=5k=31.5．

此時x的值為31.5．

②如圖3中，作OH⊥PQ交PQ的延長線于H．設OH=4k，QH=3k．

在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，

整理得：k2+3k﹣20.79=0，

解得k=﹣6.3（舍棄）或3.3，

∴OQ=5k=16.5，

此時x的值為﹣16.5．

③如圖4中，作OH⊥PQ于H，設OH=4k，AH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍棄），

∴OQ=5k=31.5不合題意舍棄．

此時x的值為﹣31.5．

綜上所述，滿足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5．