Question

【題目】如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6 ，O是射線BD上一點，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長線交于點M．過M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點E，交線段BC（或射線CD）于點F．以EF為邊作矩形EFGH，點G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．
（1）求證：BO=2OM．
（2）設EF＞HE，當矩形EFGH的面積為24 時，求⊙O的半徑．
（3）當HE或HG與⊙O相切時，求出所有滿足條件的BO的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1所示：設⊙O切AB于點P，連接OP，則∠OPB=90°．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠ABD= ∠ABC=30°．

∴OB=2OP．

∵OP=OM，

∴BO=2OP=2OM．

（2）

解：如圖2所示：設GH交BD于點N，連接AC，交BD于點Q．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ= AB=18．

設⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．

∵EF＞HE，

∴點E，F，G，H均在菱形的邊上．

①如圖2所示，當點E在AB上時．

在Rt△BEM中，EM=BMtan∠EBM= r．

由對稱性得：EF=2EM=2 r，ND=BM=3r．

∴MN=18﹣6r．

∴S矩形EFGH=EFMN=2 r（18﹣6r）=24 ．

解得：r1=1，r2=2．

當r=1時，EF＜HE，

∴r=1時，不合題意舍

當r=2時，EF＞HE，

∴⊙O的半徑為2．

∴BM=3r=6．

如圖3所示：

當點E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r．

由對稱性可知：NB=MD=6．

∴MB=3r=18﹣6=12．

解得：r=4．

綜上所述，⊙O的半徑為2或4．

（3）

解：解設GH交BD于點N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．

當點E在邊BA上時，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．

①如圖4所示，點E在AD上時．

∵HE與⊙O相切，

∴ME=r，DM= r．

∴3r+ r=18．

解得：r=9﹣3 ．

∴OB=18﹣6 ．

②如圖5所示；

由圖形的對稱性得：ON=OM，BN=DM．

∴OB= BD=9．

③如圖6所示．

∵HG與⊙O相切時，MN=2r．

∵BN+MN=BM=3r．

∴BN=r．

∴DM= FM= GN=BN=r．

∴D與O重合．

∴BO=BD=18．

④如圖7所示：

∵HE與⊙O相切，

∴EM=r，DM= r．

∴3r﹣ r=18．

∴r=9+3 ．

∴OB=2r=18+6 ．

綜上所述，當HE或GH與⊙O相切時，OB的長為18﹣6 或9或18或18+6 ．

【解析】（1）設⊙O切AB于點P，連接OP，由切線的性質可知∠OPB=90°．先由菱形的性質求得∠OBP的度數，然后依據含30°直角三角形的性質證明即可；
　　　　（2）設GH交BD于點N，連接AC，交BD于點Q．先依據特殊銳角三角函數值求得BD的長，設⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當點E在AB上時．在Rt△BEM中，依據特殊銳角三角函數值可得到EM的長（用含r的式子表示），由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長（用含r的式子表示，從而得到MN=18﹣6r，接下來依據矩形的面積列方程求解即可；當點E在AD邊上時．BM=3r，則MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；
　　　　（3）先根據題意畫出符合題意的圖形，
　　　　①如圖4所示，點E在AD上時，可求得DM= r，BM=3r，然后依據BM+MD=18，列方程求解即可；
　　　　②如圖5所示；依據圖形的對稱性可知得到OB= BD；
　　　　③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長；
　　　　④如圖7所示：先求得DM= r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了菱形的性質、切線的性質、特殊銳角三角函數值的應用、矩形的面積公式，根據題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．