Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點C(-4，0)，點分別在軸， 軸的正半軸上，線段OA、OB的長度都是方程.的解，且OB＞OA。若點從點出發，以每秒1個單位的速度沿射線運動，連結。

（1）判斷三角形ABC的形狀

（2）求出的面積關于點的運動時間秒的函數關系式．

（3）在點P的運動過程中，利用備用圖探究，求周長最短時點P運動的時間。

Answer 1

【答案】（1）△ABC為Rt△；

（2）S△PAD= ；（3）

【解析】試題分析：

(1) 觀察圖形，線段BC、AB、AC與OB的位置關系與射影定理的典型圖形相像，容易聯想到利用與射影定理相關的條件去判斷三角形形狀. 解方程易知OA、OB的長度，可以發現OB是OA，OC的比例中項，進而利用相似三角形的判定與性質可以判斷△ABC為直角三角形.

(2) 解決三角形面積相關的問題往往需要先確定底和高. 在△AOP中，OA始終不變并且以OA為底的高與y軸平行. 故可以選OA為底，再由點P作出相應的高. 利用高與坐標軸的平行關系，可以通過相似三角形確定所求的函數關系.

(3) 周長最短問題實際是線段之和最短問題. 由題意可知，應該作點A關于直線CB的對稱點A'，連接OA'，當點P為OA'與CB的交點時，三角形周長最小. 由于題目中要求研究該過程，所以需要在解答時較為詳細地說明上述最小的原因. 求解當點P為OA'與CB的交點時點P的運動時間，先求解點P的坐標. 由于點P為交點，可以聯立直線OA'與CB的方程進行求解. 直線CB的方程易得，直線OA'的方程需要點A'的坐標. 由于點A與點A'關于直線CB對稱，可以利用相似三角形解出點A'的坐標. 得到點P的坐標后可以借助第(2)問中的關系將運動時間求出.

試題解析：

(1) △ABC為直角三角形. 理由如下：

∵OA、OB的長度是方程x2-3x+2=0的解，且OB>OA，

又∵x2-3x+2=0的兩個解為：x1=2，x2=1，

∴OB=2，OA=1，

∵點C的坐標為(-4, 0)，

∴OC=4，

∵OB2=4，OAOC==4，

∴OB2= OAOC，即，

∵在△AOB與△BOC中：

，∠AOB=∠BOC=90°，

∴△AOB∽△BOC，

∴∠ABO=∠BCO，∠OAB=∠OBC，

∵在Rt△AOB中，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠ABO+∠OAB=90°，

∴△ABC為直角三角形.

(2)

過點P作PD⊥AC，垂足為D. (如圖)

∵PD⊥AC，OB⊥AC，

∴PD∥OB，

∴△CPD∽△CBO，

∴，

∵點P從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，且點P運動時間為t，

∴CP=1t=t，

∵OB=2，OC=4，

∴在Rt△BOC中， ，

∵，

∴，

∴，

∵OA=1，

∴△AOP的面積.

(3)

延長線段AB至點A'，使得AB=A'B，連接OA'，交直線CB于點P.

下面說明當點P為OA'與CB的交點時△AOP的周長最小.

①當點P (圖中實際表示該動點的是點P') 在線段CB上運動時(如備用圖1)，

連接A'P'，

∵AB=A'B，∠ABC=90°，

∴直線CB垂直平分線段AA'，

∴AP'=A'P'，

∵△AOP'的周長為：OA+OP'+AP'，

又∵OA=1，

∴△AOP'的周長為：1+OP'+AP'=1+OP'+A'P'，

∴當OP'+A'P'取最小值時，△AOP'的周長最小.

∵當點P'不與點P重合時，線段OP'，A'P'，OA'構成△OP'A'，即OP'+A'P'>OA'，

又∵當點P'與點P重合時，OP'+A'P'=OA'，

∴當點P'與點P重合時，OP'+A'P'最小，即△AOP'的周長最小，

∴當點P在線段CB上運動時，若點P為OA'與CB的交點，則△AOP的周長最小.

②當點P (圖中實際表示該動點的是點P") 在線段CB延長線上運動時(如備用圖2)，

連接A'P"，

與①同理可得：AP"=A'P"，

又∵△AOP"的周長為：OA+OP"+AP"，

與①同理可得：當OP"+A'P"取最小值時，△AOP"的周長最小，

∵當點P"在線段CB延長線上運動時，線段OP"，A'P"，OA'構成△OP"A'，即OP"+A'P">OA'，

∴當點P在線段CB延長線上運動時，△AOP的周長均大于當點P為OA'與CB交點時的△AOP的周長.

綜上所述，當點P為OA'與CB交點時，△AOP的周長最小.

下面求解當點P為OA'與CB交點時點P的運動時間t.

過點A'作A'G⊥AC，垂足為G，(如圖3)

∵A'G⊥AC，

∴A'G∥OB，

∴△AGA'∽△AOB

∴，

∵AB=A'B，BO=2，AO=1，

∴， ，

∴A'G=4，AG=2，

∴OG=AG-AO=2-1=1，

∴點A'的坐標為(-1,4)，

∴直線OA'的方程為：y=-4x，

∵點B的坐標為(0,2)，點C的坐標為(-4,0)，

∴直線BC的方程為： ，

∵點P為OA'與CB的交點，

∴聯立直線OA'與BC的方程：

，

解之，得： ，

即當點P的坐標為時，△AOP的周長最小.

由第(2)問的結論知，△AOP的面積，

∵當點P的坐標為時，△AOP的面積，

∴ (秒)，

即△AOP的周長最短時點P運動的時間為秒.