Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點P是的中點，PE⊥AC交AC的延長線于E．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）如圖2，作PH⊥AB于H，交BC于N，若NH=3，BH=4，求PE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)8．

【解析】

試題分析：（1）連接BC、OP，由AB是⊙O的直徑、PE⊥AE知PE∥BC，根據點P是的中點知OP⊥BC，即可得OP⊥PE，得證；

（2）由（1）知，四邊形PECQ是矩形，從而可設PE=CQ=BQ=x，根據勾股定理求得BN的長，先證△BHN∽△BQO得，表示出BO、OQ的長，再證△PQN∽△BHN得，即，求出x即可．

試題解析：（1）如圖1，連接BC、OP，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AE，

又∵PE⊥AE，

∴PE∥BC，

∵點P是的中點，

∴OP⊥BC，

∴OP⊥PE，

∴PE是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接OP，

由（1）知，四邊形PECQ是矩形，

∴設PE=CQ=BQ=x，

∵NH=3，BH=4，PH⊥AB，

∴BN=5，

∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°，

∴△BHN∽△BQO，

∴，即，

解得：BO=，OQ=，

∴PQ=PO﹣OQ=BO﹣OQ=，

∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°，

∴△PQN∽△BHN，

∴，即，

解得：x=8，

∴PE=8．