Question

【題目】我們把具有一條公共邊的兩個三角形稱為“友鄰三角形”，兩個三角形的公共邊所對的頂點稱為“友鄰頂點”．

（1）如圖1，寫出圖中所有的“友鄰三角形”；

（2）如圖2，與相交于點，記的面積為，的面積為，求證：；

（3）從圖3中找出兩對“友鄰三角形”，探索是否存在（2）中類似的結論，并直接寫出結果；

（4）如圖4，，，若的面積為21，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）與，與，與；（2）見解析；（3）存在，與，或與，；（4）6

【解析】

（1）根據“友鄰三角形”的定義，即可得到答案；

（2）作，，易得COE~DOF，得，結合三角形的面積公式，即可得到結論；

（3）過點C作CN⊥AE于點E，過點B作BM⊥AE的延長線于點M，則CN∥BM，易得：BME~CNE，得，結合三角形的面積公式，，同理得；

（4）作交于，可得，從而得，，進而即可求解．

（1）根據“友鄰三角形”的定義，可得圖1中的“友鄰三角形”為：與，與，與；

（2）作，，則CE∥DF，

∴COE~DOF，

∴，

∵；

（3）①與，，②與，，理由如下：

過點C作CN⊥AE于點E，過點B作BM⊥AE的延長線于點M，則CN∥BM，

∴BME~CNE，

∴，

∴．

同理：；

（4）過點D作，

∴CG：CE=CD：BC=1：3，

∴設CG=x，則CE=3x，EG=2x，

∵，

∴AE=1.5x，

∴，即：，

∵，的面積為21，

∴，

∵，

∴=×14=6．