Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直線BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=8cm，tan∠CDA=，求⊙O的半徑；

（3）在（2）條件下，過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，連接OE，求四邊形OEDA的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3（3）12.6

【解析】

試題分析：（1）要證明CD是⊙O的切線，只需要連接OD，證明∠ODC=90°即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后進行轉化即可得到∠ODC=90°，本題得以解決；

（2）根據題意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根據BC=8cm，tan∠CDA=，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的長，從而可以求得BA的長，進而可以得到⊙O的半徑；

（3）由題意可得，∠EBC=90°，可以證明△EBC和△ODC相似，從而可以求得EB的長，然后根據四邊形OEDA的面積等于△EBC的面積減去△EBO的面積再減去△DAC的面積，從而可以得到四邊形OEDA的面積，本題得以解決．

試題解析：（1）連接OD，如右圖所示，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠CBD+∠OAD=180°﹣∠BDA=90°，

∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CDA=90°，

∴∠ODC=90°，

即CD是⊙O的切線；

（2）∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，

∴△CDA∽△CBD，

∴，

又∵BC=8cm，tan∠CDA=，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，

∴tan∠CBD==，

∴=，

∴=，

解得，CD=4，CA=2，

∴BA=CB﹣CA=8﹣2=6，

∴OB=3，

即⊙O的半徑是3cm；

（3）作DF⊥BC于點F，如右上圖所示

由已知可得，∠ODC=∠EBC=90°，∠DCO=∠BCE，

∴△DCO∽△BCE，

∴，

∵OD=3，CD=4，CB=8，

∴EB=6，

又∵CO=CB﹣OB=8﹣3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90°，DF⊥OC，

∴，

解得DF=2.4，

∴===12.6cm，

即四邊形OEDA的面積是12.6cm2．