Question

【題目】如圖，已知直線l：y＝﹣x+8交x軸于點E，點A為x軸上的一個動點（點A不與點E重合），在直線l上取一點B（點B在x軸上方），使BE＝5AE，連結AB，以AB為邊在AB的右側作正方形ABCD，連結OB，以OB為直徑作⊙P．

（1）當點A在點E左側時，若點B落在y軸上，則AE的長為　 　，點D的坐標為　 　；

（2）若⊙P與正方形ABCD的邊相切于點B，求點B的坐標；

（3）⊙P與直線BE的交點為Q，連結CQ，當CQ平分∠BCD時，BE的長為　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）2，（12，4）；（2）滿足條件的點B的坐標為（﹣12，24）或（，）或（，）；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，作DG⊥x軸于G．通過證明△OBA≌△DAG即可得出點D的坐標；

（2）分三種種情形：如圖2中，當點A與原點O重合時，⊙P與BC相切于點B，AE＝6，如圖4中，當OB⊥AB時，⊙P與AB相切于點B，作BH⊥OA于H．分別求解即可，如圖4中，當點E在點A的右側時，作BH⊥OA于H．利用相似三角形的性質求解即可；

（3）如圖5，作BG⊥OA于點G，連結OQ．設AE＝m，則BE＝5m，得到BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，求得B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），得到直線OQ的解析式為，求得，推出C，Q，A三點共線，解方程即可得到結論．

解：（1）如圖1中，作DG⊥x軸于G．

由題意：E（6，0），B（0，8），

∴OE＝6，OB＝8，

∴BE＝＝10，

∵BE＝5AE，

∴AE＝2，

∴OA＝4，

∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAG=90,

∴∠BAO＝∠DAG，

∵AB=DA，∠AOB＝∠DGA,

∴△OBA≌△DAG(AAS)，

∴DG=OA=4,OB=AG=8，

∴OG=OA+AG=12,

∴D（12，4），

故答案為2，（12，4）；

（2）如圖2中，當點A與原點O重合時，⊙P與BC相切于點B，AE＝6，

∵BE＝5AE，

∴BE＝30，可得B（﹣12，24）．

如圖3中，當OB⊥AB時，⊙P與AB相切于點B，作BH⊥OA于H．

設AE＝m，則BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，

∴BH＝AH＝4m，

∴∠BAO＝45°，

∵∠OBA＝90°，

∴∠BOA＝45°，

∴點B的橫坐標與縱坐標相同，可得B（，），

如圖4中，當點E在點A的右側時，作BH⊥OA于H．

設BE＝5m，AE＝m，則BH＝4m，AEH＝3m，AH＝2m，

∵∠OBA＝∠OHB＝90°，

由△OHB∽△BHA，可得BH2＝OHAH，

∴16m2＝（6﹣3m）2m，

解得m＝，

∴B（，）

綜上所述，滿足條件的點B的坐標為（﹣12，24）或（，）或（，）；

（3）如圖5，作BG⊥OA于點G，連結OQ．

設AE＝m，則BE＝5m，

∴BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，

∴B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），

∵OQ⊥直線l，且過圓心O，

∴直線OQ的解析式為，

∴，

∵CQ平分∠BCD，

∴C，Q，A三點共線，

∴，

解得，

∴，

span>∴，

故答案為：．