Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點C和點D為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點M，N；②作直線MN，且恰好經過點A，與CD交于點E，連接BE，則下列說法錯誤的是（ ）

A.B.C.若AB=4，則D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由作法得AE垂直平分CD，則∠AED=90°，CE=DE，于是可判斷∠DAE=30°，∠D=60°，從而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如圖，若AB=4，則可計算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可計算出BE=2 ；利用正弦的定義得sin∠CBE=．

解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A選項的說法正確；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B選項的說法正確；
作EH⊥BC于H，如圖，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，
∴CH=CE=1，EH=CH=，
在Rt△BEH中，BE=，所以C選項的說法錯誤；
sin∠CBE=，所以D選項的說法正確．
故選C．