Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，．

（1）試說明：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可．

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積根據轉換思想，由即可得出答案．

試題解析：解：（1）證明：如答圖，連接OC，交BD于E，

∵∠B和∠COD是同弧所對的圓周角和圓心角，∴∠COD=2∠B．

∵∠B=30°，∴∠COD=60°．

∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC．∴AC是⊙O的切線．

（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°．

∵BD=，∴．

∵在Rt△ODE中， ，∴OD=2．

∵在Rt△ACO中， ， ∴AC=．

∴．