Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）當(dāng)時(shí)，MN取最大值，最大值為．

（3）存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，4）．

【解析】

試題分析：（1）令一次函數(shù)關(guān)系式中x=0、x=﹣3，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）（﹣3＜m＜0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣ m+1），用含m的代數(shù)式表示出來MN，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）（﹣3＜m＜0），連接BN、CM，當(dāng)四邊形BCMN為菱形時(shí)，BM與NC相互垂直平分，根據(jù)BC=MN算出m的值，從而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再去驗(yàn)證BN是否等于BC，由此即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）令一次函數(shù)y=﹣x+1中x=0，則y=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）；

令一次函數(shù)y=﹣x+1中x=﹣3，則y=﹣×（﹣3）+1=，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，）．

將點(diǎn)A（0，1）、點(diǎn)B（﹣3，）、點(diǎn)（﹣1，4）代入到y(tǒng)=ax2+bx+c中，

得：，解得：．

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．

（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）（﹣3＜m＜0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣ m+1），

∴MN=﹣（﹣m+1）==，

∴當(dāng)時(shí)，MN取最大值，最大值為．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，）（﹣3＜m＜0），連接BN、CM，如圖所示．

若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可．

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴BC=．

∵四邊形BCMN為菱形，

∴MN==BC=，

解得：m1=﹣2，m2=﹣1．

當(dāng)m=﹣2時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，），

∴BN=，BC=，BN≠BC，

故m=﹣2（舍去）；

當(dāng)m=﹣1時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，4），

∴BN=，BC=，BN=BC，

∴點(diǎn)N（﹣1，4）符合題意．

故存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，4）．