Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB=AC=，∠B=30°，點(diǎn)O為邊BC上一點(diǎn)以Ｏ為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求作圓O(尺規(guī)作圖，保留作留痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）求證：AC是OO的切線；

（3）若點(diǎn)P為圓O上一點(diǎn)，且弧PA=弧PB，連接PC，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示即為答案；（2）詳見(jiàn)解析；（3）或2

【解析】

（1）根據(jù)外心的定義即可求作圓O；

（2）根據(jù)切線的判定即可證明AC是⊙O的切線；

（3）根據(jù)點(diǎn)P為圓O上一點(diǎn)，且弧PA＝弧PB，連接PC，即可求線段PC的長(zhǎng)．

解：（1）如圖，圓O即為所求；

（2）證明：連接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠B＝30°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝30°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，

∴OA⊥AC，OA是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線；

（3）∵弧PA＝弧PB，

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P′和P″，連接P′C和P″C，

作P′E⊥BC于點(diǎn)E，

∵OP′⊥AB，

根據(jù)垂徑定理，得

AF＝BF＝ AB＝，

∵∠B＝30，

∴∠P′OB＝60°，

∴OB＝，

∴P′E＝BF＝，

BE＝OB＝，

∵AB＝AC＝2，

作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝，DC＝，

∴BC＝2DC＝2，

∴CE＝BC﹣BE＝，

∴P′C＝；

連接P″C，

∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，

∴△AOC≌△P″OC（SAS），

∴P″C＝AC＝2．

綜上所述：線段PC的長(zhǎng)為或2．