Question

【題目】在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．AE的中點是M．

(1)如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH；

(2)將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

(3)將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？(不必說明理由)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)△FMH還是等腰直角三角形．

【解析】

(1)根據正方形的性質可得FB=BM=MD=DH，然后利用“邊角邊”證明△FBM和△MDH全等，根據全等三角形對應邊相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM⊥HM，然后根據等腰直角三角形的定義證明即可；(2)連接MB、MD，設FM與AC交于點P，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，然后得到四邊形BCDM是平行四邊形并求出∠CBM=∠CDM，再求出∠FBM=∠MDH，然后利用“邊角邊”證明△FBM和△MDH全等，根據全等三角形對應邊相等可得FM=MH，全等三角形對應角相等可得∠MFB=∠HMD，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠APM=∠FMD，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠FMH=∠FBP=90°，再根據等腰直角三角形的定義證明即可；(3)證明方法同(2)．

(1)證明：∵四邊形BCGF為正方形，

∴BF=BM=MN，∠FBM=90°，

∵四邊形CDHN為正方形，

∴DM=DH=MN，∠HDM=90°，

∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，

∴BF=BM=DM=DH，

∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，

∴△FBM≌△HDM，

∴FM=MH，

∵∠FMB=∠DMH= 45°，

∴∠FMH=90°，

∴FM⊥HM．

(2)證明：連接MB、MD，如圖2，設FM與AC交于點P．

∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，

∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH，

∴四邊形BCDM是平行四邊形，

∴∠CBM=∠CDM，

∵∠FBP=∠HDC，

∴∠FBM=∠MDH，

∵MD =BF，∠FBM=∠MDH，MB=DH，

∴△FBM≌△MDH（SAS），

∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，

∵BC∥MD，

∴∠APM=∠FMD，

∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，

∴△FMH是等腰直角三角形；

(3)△FMH還是等腰直角三角形．

連接MB、MD，如圖3，設FM與AC交于點P．

∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，

∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，

∴四邊形BCDM是平行四邊形，

∴∠CBM=∠CDM，

又∵∠FBP=∠HDC，

∴∠FBM=∠MDH，

在△FBM和△MDH中，，

∴△FBM≌△MDH（SAS），

∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，

∵BC∥MD，

∴∠APM=∠FMD，

∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，

∴△FMH是等腰直角三角形．