Question

小明爸爸經營的水果店出售一種優質熱帶水果，正在上初三的小明經過調查和計算，發現這種水果每月的銷售量y（千克）與銷售單價x（元）之間存在著一次函數關系：y=-10x+500．
下面是他們的一次對話：
小明：“您要是告訴我咱家這種水果的進價是多少？我就能幫你預測好多信息呢！”
爸爸：“咱家這種水果的進價是每千克20元”
聰明的你，也來解答一下小明想要解決的三個問題：
（1）若每月獲得利潤w（元）是銷售單價x（元）的函數，求這個函數的解析式．
（2）當銷售單價為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）如果想要每月從這種水果的銷售中獲利2000元，那么銷售單價應該定為多少元？

Answer 1

解：（1）根據題意可得：w=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000；

（2）w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250，
當x=35時，每月利潤最大；

（3）當w=2000時，
-10x²+700x-10000=2000，
化簡得：x²-70x+1200=0，
解得：x₁=30，x₂=40．
答：如果想要每月從這種水果的銷售中獲利2000元，那么銷售單價應該定為30元或40元．
分析：（1）根據題意可得利潤=（定價-進價）×銷售量，從而列出關系式；
（2）根據（1）式列出的方程式，運用配方法即可求最大利潤；
（3）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價．
點評：此題考查二次函數的應用以及拋物線的基本性質，注意仔細審題，將實際問題轉化為求函數最值問題，培養自己利用數學知識解答實際問題的能力．