Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2﹣x+2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點A（﹣4，0）．

（1）求拋物線與直線AC的函數解析式；

（2）若點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形OCDA的面積為S，求S關于m的函數關系；

（3）若點E為拋物線上任意一點，點F為x軸上任意一點，當以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1） （2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）

【解析】

試題分析：（1）把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據A，C兩點的坐標，可求得直線AC的函數解析式；

（2）先過點D作DH⊥x軸于點H，運用割補法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據此列式計算化簡就可求得S關于m的函數關系；

（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點E與點C的縱坐標之間的關系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點E的坐標．

試題解析：（1）∵A（﹣4，0）在二次函數y=ax2﹣x+2（a≠0）的圖象上，

∴0=16a+6+2，

解得a=﹣，

∴拋物線的函數解析式為y=﹣x2﹣x+2；

∴點C的坐標為（0，2），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線AC的函數解析式為：；

（2）∵點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，

∴D（m，﹣m2﹣m+2），

過點D作DH⊥x軸于點H，則DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，

∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），

化簡，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；

（3）①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，

∴|yE|=|yC|=2，

∴yE=±2．

當yE=2時，解方程﹣x2﹣x+2=2得，

x1=0，x2=﹣3，

∴點E的坐標為（﹣3，2）；

當yE=﹣2時，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，

x1=，x2=，

∴點E的坐標為（，﹣2）或（，﹣2）；

②若AC為平行四邊形的一條對角線，則CE∥AF，

∴yE=yC=2，

∴點E的坐標為（﹣3，2）．

綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．