Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內取一點C，作CD垂直x軸于點D，鏈接AC，且AD＝5，CD＝8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值為7或9（3）Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）

【解析】試題（1）由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，代入拋物線解析式可求得C′點的坐標，則可求得平移的單位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E點坐標，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點坐標；當BE為對角線時，由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設Q（x，y），由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′點的坐標為（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=2，

∴可設P（2，t），

由（2）可知E點坐標為（1，8），

①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

設Q（x，y），則QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②當BE為對角線時，

∵B（5，0），E（1，8），

∴線段BE的中點坐標為（3，4），則線段PQ的中點坐標為（3，4），

設Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

綜上可知Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．