Question

【題目】已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D為線段BC上一動點（點D不與點B、C重合），點B關于直線AD的對稱點為E，作射線DE，過點C作BC的垂線，交射線DE于點F，連接AE．

（1）依題意補全圖形；

（2）AE與DF的位置關系是 ；

（3）連接AF，小昊通過觀察、實驗，提出猜想：發現點D 在運動變化的過程中，∠DAF的度數始終保持不變，小昊把這個猜想與同學們進行了交流，經過測量，小昊猜想∠DAF= °，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法：

想法1：過點A作AG⊥CF于點G，構造正方形ABCG，然后可證△AFG≌△AFE……

想法2：過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，構造□ABGF，然后可證△AFE≌△BGC……

請你參考上面的想法，幫助小昊完成證明（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）互相垂直；（3）45°，證明詳見解析

【解析】

（1）根據題意正確畫圖；
（2）證明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED=∠B=90°，從而得結論；
（3）想法1：如圖2，過點A做AG⊥CF于點G，先證明四邊形ABCG是正方形，得AG=AB，∠BAG=90°，再證明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF=∠EAF，根據∠BAG=90°及角的和可得結論；
想法2：如圖3，過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，證明四邊形ABGF是平行四邊形，得AF=BG，∠BGC=∠BAF，再證明Rt△AEF≌Rt△BCG （HL），同理根據∠BCG=90°及等量代換，角的和可得結論．

（1）補全圖形如下：

（2）AE與DF的位置關系是：AE⊥DF，
理由是：∵點B關于直線AD的對稱點為E，
∴AB=AE，BD=DE，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SSS），
∴∠AED=∠B=90°，
∴AE⊥DF；
故答案為：AE⊥DF；
（3）猜想∠DAF=45°；
想法1：
證明如下：如圖2，過點A做AG⊥CF于點G，

依題意可知：∠B=∠BCG=∠CGA=90°，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCG是正方形，
∴AG=AB，∠BAG=90°，
∵點B關于直線AD的對稱點為E，
∴AB=AE，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∠BAD=∠EAD，
∴AG=AE，
∵AF=AF，
∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），
∴∠GAF=∠EAF，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF=90°，
∴∠EAD+∠EAF=45°．
即∠DAF=45°．
想法2：
證明如下：如圖3，過點B作BG∥AF，交直線FC于點G，

依題意可知：∠ABC=∠BCF=90°，
∴AB∥FG，
∵AF∥BG，
∴四邊形ABGF是平行四邊形，
∴AF=BG，∠BGC=∠BAF，
∵點B關于直線AD的對稱點為E，
∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴Rt△AEF≌Rt△BCG （HL），
∴∠EAF=∠CBG，
∵∠BCG=90°，
∴∠BGC+∠CBG=90°，
∴∠BAF+∠EAF=90°，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90°，
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD+∠EAF=45°，
即∠DAF=45°．
故答案為：45．