Question

【題目】如圖，已知拋物線 （ 為常數）經過點 ，與 軸相 交于點 、（點 在點 的右側）．

（1）求拋物線的解析式和點 的坐標；

（2）將直線 向下平移 （ ）個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點 ，求點 的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接 、，在 正半軸上是否存在點 ，使以 、、 為頂點的三角形與 相似.若存在，請求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x，點B的坐標為（3，0）；（2）（2，﹣2）；（3）存在，點P的坐標為（，0）或（6，0）

【解析】

（1）將代入中得出b的值，從而確定拋物線的解析式，再令得出點B 的坐標；

（2）根據待定系數法得出直線OA的解析式y=x，再設出平移后的解析式y=x﹣m，與二次函數解析式組成方程組，再根據△=16﹣4m=0，求出m的值，從而確定 的坐標；

（3）根據A、D兩點坐標得出OA和OD的長，再分△OAP∽△OBD和△OAP∽△ODB兩種情況進行討論即可．

解：（1）∵拋物線y=x2+bx經過A（4，4），

∴將A點坐標代入得：，解得：，

∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x．

令，得：，解得：，.

∴點B的坐標為（3，0）.

（2）設直線OA的解析式為y=k1x，由點A（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1 ，

∴直線OA的解析式為y=x，

∴直線OA向下平移m個單位長度后的解析式為：

y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，

∵拋物線與直線只有一個公共點，∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此時x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D點的坐標為（2，﹣2）．

（3）由點A（4，4）可得，∠AOB=45°,

由點D（2，—2）可得，∠DOB=45°,

∴∠AOB=∠DOB.

，

.

如圖，當∠OAP=∠OBD時，△OAP∽△OBD,

則，.

∴ ，∴OP=.

如圖，當∠OAP=∠ODB時，△OAP∽△ODB,

則，，即，

∴ OP=6

故點P的坐標為（，0）或（6，0）．