Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，四邊形BCED為平行四邊形，DE、AC相交于F．

（1）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由；

（2）若AB=16，AC=12，求四邊形ADCE的面積；

（3）若四邊形ADCE為正方形，△ABC應添加什么條件，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）24（3）應添加條件AC=BC．

【解析】

(1)由題意容易證明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四邊形ADCE為菱形；

(2)根據解三角形的知識求出AC和DF的長，然后根據菱形的面積公式求出四邊形ADCE的面積；

(3)應添加條件AC=BC，證明CD⊥AB且相等即可．

(1)∵平行四邊形DBCE，

∴CE∥BD，CE=BD，

∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∴CE∥AD，CE=AD，

∴四邊形ADCE為平行四邊形，

又BC∥DE，

∴∠AFD=∠ACB=90°，

∴AC⊥DE，

∴四邊形ADCE為菱形；

(2)在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，

∴BC==4，

∵D為AB中點，F也為AC的中點，

∴DF=2，

∴四邊形ADCE的面積=AC×DF=24；

(3)應添加條件AC=BC．

證明如下：∵AC=BC，D為AB中點，

∴CD⊥AB(三線合一的性質)，即∠ADC=90°，

∵四邊形ADCE為菱形；，

∴四邊形ADCE為正方形．