Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC中，D為邊AC上一點．

（1）以BD為邊作等邊△BDE，連接CE，求證：AD=CE；

（2）如果以BD為斜邊作Rt△BDE，且∠BDE=30°，連接CE并延長，與AB的延長線交于F點，求證：AD=BF；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）欲證明AD=CE，只要證明△ABD≌△CBE即可；

（2）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．首先證明△DBH是等邊三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再證明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可證明．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中， ，

∴△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

（2）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，

∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，

∴∠BDH=60°，

∴△DBH是等邊三角形，

由（1）可知，△ABD≌△CBH，

∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，

∴BF∥CH，

∴∠F=∠ECH，

在△EBF和△EHC中， ，

∴△EBF≌△EHC，

∴BF=CH，

∴AD=CE．