Question

【題目】定義：如圖①，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在該拋物線上(P點與A、B兩點不重合)．如果△ABP的三邊滿足AP2＋BP2＝AB2，則稱點P為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股點．

(1)直接寫出拋物線y＝－x2＋1的勾股點的坐標．

(2)如圖②，已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P(1， )是拋物線的勾股點，求拋物線的函數表達式．

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線上，求滿足條件S△ABQ＝S△ABP的Q點(異于點P)的坐標．

Answer 1

【答案】(1)(0，1)(2) y＝-x(x-4)＝-x2＋x(3)滿足條件的點Q有3個，分別為(3， )或(2＋，－ )或(2－，－ )．

【解析】試題分析:(1)根據拋物線勾股點的定義可以求解,(2)作PG⊥x軸,由點P的坐標求得:AG=1,PG=,由三角函數可得: ,可知∠PAG=60°從而求得AB=4,即B(4,0),待定系數法可求解得,(3)由且兩個三角形同底,可知點Q到x軸的距離為,即可求解.

(1)拋物線y＝－x2＋1的勾股點的坐標為(0，1)．

(2)如圖，作PG⊥x軸于點G.∵點P的坐標為(1，)，∴AG＝1，PG＝，∴PA＝＝＝2.∵tan∠PAB＝＝，∴∠PAG＝60°.在Rt△PAB中，AB＝＝＝4，∴點B的坐標為(4，0)．

設y＝ax(x－4)，將點P(1，)代入得a＝－，∴y＝－x(x－4)＝－x2＋x.

(3)①當點Q在x軸上方時，由S△ABQ＝S△ABP知點Q的縱坐標為，則有－x2＋x＝，解得x1＝3，x2＝1(不符合題意，舍去)，∴點Q的坐標為(3，)．

②當點Q在x軸下方時，由S△ABQ＝S△ABP知點Q的縱坐標為－，則有－x2＋x＝－，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴點Q的坐標為(2＋，－)或(2－，－)．

綜上所述，滿足條件的點Q有3個，分別為(3，)或(2＋，－)或(2－，－)．