Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E為對角線AC上一點，EF⊥DE交AB于F，若四邊形AFED的面積為4，則四邊形AFED的周長為______．

Answer 1

【答案】4+2

【解析】

連接BE，DF，過E作EN⊥BF于點N，證明△DCE≌△BCE和△BEF為等腰三角形，設AF=x，用x表示DE與EF，由根據四邊形ADEF的面積為4，列出x的方程求得x，進而求得四邊形ADEF的周長．

解：如圖，連接BE，DF，過E作EN⊥BF于點N，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE=BE，∠CDE=∠CBE，
∴∠ADE=∠ABE，
∵∠DAB=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AFE=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠ADE=∠EFB，
∴∠ABE=∠EFB，
∴EF=BE，
∴DE=EF，
設AF=x，則BF=3-x，
∴FN=BN=BF=，

∴AN=AF+FN=，

∵∠BAC=∠DAC=45°，∠ANF=90°，
∴EN=AN=，

∴DE=EF=，

∵四邊形AFED的面積為4，
∴S△ADF+S△DEF=4，

∴×3x+×，

解得，x=-7（舍去），或x=1，
∴AF=1，DE=EF=，

∴四邊形AFED的周長為：3+1++=4+，

故答案為：4+.