Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點B坐標為(4，0)，點C坐標為(0，4)，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的表達式及對稱軸；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA＝2∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBGH，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點G或H恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），x=1；（2）(，)或(，-)；（3）點P的橫坐標為或0或2或2-

【解析】

（1）將點B、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）在線段DE上取點M，使MD=MB，此時∠EMB=2∠BDE，則∠FBA=∠EMB，即可求解；

（3）分點P在對稱軸右側、點P在對稱軸左側兩種情況，利用三角形全等求解即可．

（1）根據題意得

∴

∴D的坐標（1，）即對稱軸為x=1

（2）如圖，在線段DE上選取點M，使得MD=MB．此時∠EMB＝2∠BDE

設ME=a，在Rt△BME中，ME2BE2BM2.

即，解得a＝

∴tan∠EMB=

過F作FN⊥x軸于點N，設F（m，－m2+m+4），則FN＝|－m2+m+4|

∵∠FBA＝2∠BDE，

∴∠FBA＝∠EMB，

∴tan∠FBA=tan∠EMB=

∵B（4，0），E（1，0），

∴BE＝3，BN＝4/span>﹣m，即tan∠FBA=

當點F在x軸上方時，有12(4﹣m)＝5（－m2+m+4），解得m1＝4(舍)，m2＝

∴F的坐標（，）

當點F在x軸下方時，有-12(4﹣m)＝5（－m2+m+4），解得m1＝4(舍)，m2＝∴F的坐標（，-）

∴F的坐標（，）或（，-）

（3））①當點P在對稱軸右側時，

（Ⅰ）當點H在y軸上時，如圖2，

∵∠MPB+∠CPH=90°，∠CPH+∠CHP=90°，

∴∠CHP=∠MPB，

∵∠BMP=∠PNH=90°，PH=BP，

∴△BMP≌△PNH（AAS），

∴MB=PC，

設點P（x，y），則x=y=-x2+x+4，

解得：x=±2（舍去負值），

故點P的橫坐標為2；

（Ⅱ）當點G在y軸上時，如圖3，

過點P作PR⊥x軸于點R，

同理可得：△PRB≌△BOG（AAS），

∴PR=OB=4，

即yP=4=-x2+x+4，

解得：x=2；

②當點P在對稱軸左側時，

同理可得：點P的橫坐標為0或2-2；

綜上，點P的橫坐標為或0或2或2-