Question

【題目】已知：如圖，AD是△ABC的高，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F．

（1）求證：∠B＝∠AED；

（2）若添加條件：DE＝DF．求證：∠B＝∠C．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）證明△AHE≌△DHE（SAS），得出∠AEH＝∠DEH．AE＝DE，證出EF∥BC，得出∠AEH＝∠B，即可得出結論；

（2）證明DE，DF分別是Rt△ADB，Rt△ADC的斜邊AB，AC上的中線，得出DE＝AB，DF＝AC．證出AB＝AC，即可得出∠B＝∠C．

（1）證明：∵EF是AD的中垂線，

∴AH＝DH，∠AHE＝∠DHE＝90°，

在△AEH和△DEH中，

∴△AHE≌△DHE（SAS），

∴∠AEH＝∠DEH．AE＝DE，

∵AD是△ABC的高，

∴EF∥BC，

∴∠AEH＝∠B，

∴∠B＝∠AED．

（2）證明：由（1）得：EF∥BC，AH＝DH，

∴AE＝BE，AF＝CF，

∴DE，DF分別是Rt△ADB，Rt△ADC的斜邊AB，AC上的中線，

∴DE＝AB，DF＝AC．

∵DE＝DF，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠C．