Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，點為線段的中點，的平分線與軸相較于點，、兩點關于軸對稱．

（1）一動點從點出發，沿適當的路徑運動到直線上的點，再沿適當的路徑運動到點處．當的運動路徑最短時，求此時點的坐標及點所走最短路徑的長．

（2）點沿直線水平向右運動得點，平面內是否存在點使得以、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為，點所走最短路徑的長為；（2）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）先根據直線的解析式求出點A、B的坐標，再根據直角三角形和角平分線以及對稱的性質得出點C、D、E的坐標，然后利用待定系數法可求出直線BC的解析式，最后根據對稱性質確定最短路徑，求出直線的解析式，聯立兩個函數的解析式即可得；

（2）根據菱形的性質，分兩種情況：BD為邊和BD為對角線，然后分別利用菱形的性質、兩點之間的距離公式列出等式求解即可．

（1）對于

當時，，解得，則點B的坐標為

當時，，則點A的坐標為

點為線段的中點

由點A、B的坐標得：

在中，，即

平分

在中，，即

解得

、兩點關于軸對稱

設直線BC的解析式為

將點代入得，解得

則直線BC的解析式為

如圖，作點D關于直線BC的對稱點，連接ED交BC于點F

由對稱的性質、兩點之間線段最短可知，點P所走最短路徑的長為的長

由對稱的性質可知，

過點作軸于點G

在和中，

由兩點之間的距離公式得：

設直線的解析式為

將點代入得，解得

則直線的解析式為

聯立，解得

則點的坐標為；

（2）存在，點的坐標的求解過程如下：

，點沿直線水平向右運動得點

可設點的坐標為，且

由菱形的性質，分以下兩種情況：

①若BD為邊

由菱形的定義得：

由兩點之間的距離公式得：

解得或（舍去）

則點的坐標為

②若BD為對角線

由菱形的定義得：

由兩點之間的距離公式得：

解得

則點的坐標為

綜上，點的坐標為或．